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Programación lineal

 

Programación Lineal (PL) es una técnica de optimización destinado a la asignación eficiente de recursos limitados en actividades conocidas para maximizar beneficios o minimizar costos, como es el caso de la formulación de raciones. La característica distintiva de los modelos de PL es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.

Un programa lineal puede ser del tipo de maximización o minimización. Las restricciones pueden ser del tipo <=, = ó >= y las variables pueden ser negativas o irrestrictas en signo.

Los modelos de PL a menudo representan problemas de “asignación” en los cuales los recursos limitados se asignan a un número de actividades.

Un Programa Lineal es un problema que se puede expresar como sigue:

Min Z = cx (1)

Sujeto a:

Ax = b (2)
x >= 0 (3)

Donde (1) es la función objetivo, (2) se denomina ecuaciones de restricciones y (3) condición de no negatividad. En la función lineal “z=cx”, “c” es el vector de precios, “x” el vector de variables por resolver. “A” es una matriz de coeficientes conocidos, y “b” vector de coeficientes conocidos.

La programación lineal es utilizada en la formulación de raciones, donde se busca minimizar el costo de la mezcla de alimentos, denominándose a estas, raciones balanceadas de mínimo costo.

En la ecuación (1):

Z = representa el costo de la ración a minimizar.
c = constituye el costo de cada ingrediente.
x = representan los ingredientes o alimentos en la ración a minimizar.

En la ecuación (2):

A = es la matriz que contiene la composición nutricional de los alimentos.
b = es el vector que representa los requerimientos nutricionales de los animales.

En la ecuación (3):

Condición de no negatividad, indica que la cantidad a aportar de cada alimento sea mayor o igual a cero.

Ejemplo

Un ejemplo de utilización de la técnica se presenta a continuación, siendo los nutrientes aportados por los alimentos: Energía metabolizable y Proteína cruda. La ración será para ponedoras 7-18 semanas, los ingredientes a utilizar son: Maíz amarillo y Torta de soja.

Composición nutricional y costo de los alimentos

Nutrientes

Maíz amarillo (X1)*

Torta soya (X2)

Energía M. (Mcal/kg)

3.37

2.43

Proteína C. (kg/kg)

0.088

0.44

Costo (S/kg)

0.75

1.20

* Letras y subíndices que representan a los alimentos en las ecuaciones.

 

Requerimientos nutricionales de los animales y cantidad de ración a formular

Límites

Cantidad (kg)

EM (Mcal/kg)

PC (kg/kg)

Mínimo

1

2.85

0.16

Máximo

1

 

0.17

El objetivo de la formulación es determinar la cantidad de alimento X1 y X2 que debe ser mezclado para cumplir los requerimientos de los animales y minimizar el costo (Z) de la ración, entonces se procede a plantear el problema de programación lineal.

Se establece la ecuación que representa la función objetivo:

Min z = 0.75X1 + 1.20X2 (4)

Las ecuaciones de restricciones a las cuales se sujeta la función objetivo son:

        X1 +       X2   = 1.00 (5)
3.370X1 + 2.43X2 >= 2.85 (6)
0.088X1 + 0.44X2 >= 0.16 (7)
0.088X1 + 0.44X2 <= 0.17 (8)

X1 , X2 >= 0

Una forma de resolver problemas de programación lineal es a través del método gráfico. El método es eficiente para solucionar problemas con dos restricciones para n alimentos o dos alimentos para n restricciones. Obteniéndose así modelos bidimensionales, si se agrega otra variable se obtiene un modelo tridimensional más complejo. Como el problema tiene dos variables (X1 y X2), la solución es bidimensional.

Si se consideran las desigualdades (6, 7 y 8) en igualdades, se tendrá:

3.370X1 + 2.43X2 = 2.85 (9)
0.088X1 + 0.44X2 = 0.16 (10)
0.088X1 + 0.44X2 = 0.17 (11)

Seguidamente se obtiene el valor de X1 y X2 en cada una de las expresiones matemáticas. El valor de X1 y X2 en las ecuaciones de restricción se calcula dando valor de cero a una de ellas cuando se calcula la otra y viceversa tal como se muestra en el cuadro siguiente:

Recta A (ec. 5)

Recta B (ec. 9)

Recta C (ec. 10)

Recta D (ec. 11)

X1

X2

X1

X2

X1

X2

X1

X2

1

0

0.85

0

1.82

0

1.93

0

0

1

0

1.17

0

0.36

0

0.39

Con esta información es posible graficar en un eje de coordenadas el valor de X1 y X2 de cada una de las expresiones matemáticas, las rectas que se forman se muestran en el gráfico siguiente:

En el polígono sombreado se muestra el área de soluciones factibles y cualquier combinación de los alimentos X1 y X2 que esté en el área de soluciones posibles cumplirá con las restricciones establecidas. Por lo tanto, el problema se limita a seleccionar la combinación de X1 y X2 que sea de mínimo costo cumpliendo además, con las restricciones.

Si se dan valores arbitrarios a la función objetivo (Z) se presentan soluciones como las que se presentan en el gráfico (Z=0.5, Z= 0.842, Z= 1.0, Z=1.5). Estas rectas indican que la función de costo de desplaza en forma paralela, pudiéndose afirmar que si ésta se desplaza hacia abajo, el valor de Z disminuye, mientras que un desplazamiento hacia arriba elevará el valor de Z.

Si trazamos rectas paralelas de funciones objetivos en el área de soluciones factibles, las posibles soluciones se reducen a dos y corresponden a los cruces de la recta A (ecuación 5) con la C (ec. 10) y de la recta A con la D (ec. 11). La selección se basa a que son los únicos vértices que cumplen la restricción donde la suma de los alimentos es igual a uno (X1 + X2 = 1).

Como lo que se busca es encontrar la solución que minimice la función objetivo, la solución óptima es aquella indicada en el gráfico.

El mencionado punto corresponde aproximadamente a 0.8 unidades de X1 (maíz amarillo) y 0.2 unidades de X2 (Torta de soja). Es posible calcular los valores de estas variables resolviendo el sistema de ecuaciones formado por el vértice de solución, que son:

X1 + X2 = 1.00
0.088X1 + 0.44X2 = 0.16

Resolviendo este sistema se tiene:

X1 = 0.795
X2 = 0.205

Estos valores obtenidos son casi los mismos al logrado con el gráfico. Asimismo, los resultados de las variables, están expresadas en función a 1 kg, por tanto para una mejor expresión se debe llevar a porcentaje, siendo el Maíz amarillo = 79.5% y la Torta de soja = 20.5%.

La ecuación de costos es la siguiente:

Z = 0.75X1 + 1.20X2
Z = 0.75(0.795) + 1.20(0.205)
Z = S/. 0.842

La ración balanceada tiene un costo mínimo de S/. 0.842.

Comprobando si la solución satisface las igualdades y desigualdades establecidas, se tiene:

X1 + X2 = 1.00 (5)
0.795 + 0.205 = 1.00
1.00 = 1.00

3.37X1 + 2.43X2 >= 2.85 (6)
3.37(0.795) + 2.43(0.205) = 3.18
3.18 > 2.85

0.088X1 + 0.44X2 >= 0.16 (7)
0.088(0.795) + 0.44(0.205) = 0.16
0.16 = 0.16

0.088X1 + 0.44X2 <= 0.17 (8)
0.088(0.795) + 0.44(0.205) = 0.16
0.16 < 0.17

Los modelos matemáticos formulados con la programación lineal se pueden resolver en forma gráfica y matemática. Para la solución matemática, el simplex es el método empleado comúnmente.

El método gráfico es limitado frente al simplex, su utilización es con fines explicativos como en el presente ejemplo, donde se ilustra el modelo de programación lineal en la resolución de problemas de minimización.

Obviamente, cuando deseamos formular una ración en producción animal, utilizaremos mayores números de ingredientes y nutrientes, cada uno con sus respectivas restricciones, este problema es limitado para el método gráfico, pero no para el simplex. Las operaciones matemáticas del método simplex son lo suficientemente complejas como para que casi todo el modelo se efectúe mediante software.

El método más usado en la confección de raciones balanceadas es el método simplex, el mismo que es implementado en un software, donde es factible especificar valores mínimos, máximos, rangos, relaciones o cantidades exactas para cada ingrediente o nutriente.

Si las necesidades de los animales son descritas mediante modelos determinísticos, la programación lineal es la manera mas eficaz y sencilla para la formulación de raciones. Sin embargo, si el modelo nutricional que describe las necesidades de los animales es estocástico, es decir, que se tiene en cuenta la variabilidad inherente de todos o varios parámetros que participan como inputs en la determinación de las necesidades nutricionales, entonces la programación estocástica es necesaria para optimizar raciones.

Referencias

Alagón, H.G.; Barriga, G.J. y Salgado, M.M. (1996). Formulación computarizada de raciones para aves y cerdos. CIP-CIZ. Cusco, Perú.

Alagón, H.G.; Moscoso, M.J. y Quispe, Q.E.J. (2001). Formulación computarizada de raciones para aves, cerdos y truchas. CISPAAS-FAZ-UNSAAC. Cusco, Perú.

Cañas, C.R. (1995). Alimentación y nutrición animal. PUC. Santiago, Chile.

Charaja, M. (2000). Métodos de optimización I. EPG-MGE-UNA. Puno, Perú.

Fourier, R. (1999). Linear Programming Frequently Asked Questions. Optimization Technology Center of Northwestern University and Argonne National Laboratory.

Trujillo, F.V. (1987). Métodos matemáticos en la nutrición animal. McGraw-Hill. México.

 

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